Het is interessant dat Coolidge, die een heel hoofdstuk over verschillende coördinatensystemen heeft in zijn History of Geometrische Methods, niet eens cilindrische coördinaten noemt. Dit komt waarschijnlijk omdat ze gewoon een extra variabele aan poolcoördinaten toevoegen, niet bepaald een opmerkelijke zet. Het vroegste expliciete voorbeeld dat ik me herinner (zonder de naam natuurlijk) is van Euler in De motu vibratorio tympanorum (On the motion of vibrations in drums), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 10, 1766. Dutka beschrijft het als volgt in On the Early History of Bessel Functions:

" Euler stelt de bewegingsvergelijkingen op voor een homogene membraan waarin de spanningen in de $ x $ en $ y $ richtingen gelijk zijn zonder dat er externe krachten optreden erop ... Hij krijgt een vergelijking met de vorm $$ \ frac {\ partiële ^ 2z} {\ partiële t ^ 2} = a ^ 2 \ left ( \ frac {\ partieel ^ 2z} {\ partieel x ^ 2} + \ frac {\ partieel ^ 2z} {\ partieel y ^ 2} \ right) \ hspace {1cm} (5) $$ waarbij het rechterlid van de vergelijking evenredig is met de som van de krachten in de $ x $ en $ y $ richtingen, en $ a ^ 2 $ hangt af van de spanning en dichtheid van het membraan.

Euler's oplossing voor het geval van een rechthoekig membraan is evenredig met een product van sinusoïdale functies van respectievelijk $ x, y $ en $ t $ . Vervolgens gaat hij verder met het geval van een cirkelvormig membraan waarin de spanning langs de grens uniform is. Hij introduceert wat in wezen cilindrische coördinaten zijn $ (r, \ theta, z) $ in plaats van de rechthoekige coördinaten en vervangt door (5). "

Wat Euler krijgt, is de nu standaardvergelijking voor de Bessel-functies, ook wel bekend als de cilindrische functies. Dit is waarom. Voor deze functies ontwikkelt hij de, eveneens standaard, power series-formule. Zelfs vóór Euler (en Bessel) bestudeerde Daniel Bernoulli ze al, hoewel lang niet zo grondig als Bessel.

Wat de naam betreft, Google Scholar heeft geen niet-onechte hits van vóór 1870, Cambridge's Solutions of the Senate-House Problems and Riders (1875) is de vroegste. Frost's Solid Geometry-tekstboek (1886) heeft al een sectie die is vernoemd naar cilindrische coördinaten.