Vraag:
Welke groepstheoretische resultaten waren bekend voor verschillende speciale gevallen voordat de algemene definitie van een groep werd vastgesteld?
Jack M
2014-10-31 05:48:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Veel resultaten in groepentheorie werden bewezen voor permutatiegroepen voordat de algemene definitie van een groep werd vastgesteld (bijvoorbeeld: de stelling van Lagrange, de stellingen van Sylow). Permutatiegroepen waren echter niet de enige groepen die in de negentiende eeuw bestudeerd werden, er waren ook groepen geometrische transformaties en groepen die voortkwamen uit de getaltheorie (ik kan niet echt meer details geven omdat ik de details niet eerlijk ken).

Waren er resultaten van algemene groepentheorie bekend voor verschillende specifieke gevallen anders dan alleen permutatiegroepen, voordat de algemene definitie van een groep was geformuleerd? Ik vraag het omdat ik me afvraag of dergelijke "toevalligheden" de algemene definitie van een groep hadden kunnen motiveren. De stelling van Lagrange was bijvoorbeeld in de 19e eeuw bekend voor zowel permutatiegroepen als voor de multiplicatieve groep van $ \ mathbb Z / n \ mathbb Z $ (via Euler).

Het is waarschijnlijk de moeite waard erop te wijzen (hoewel u dit zeker weet) dat elk puur groepstheoretisch resultaat dat kan worden bewezen voor permutatiegroepen, geldt voor abstracte groepen door de stelling van Cayley.
De onoplosbaarheid van veeltermen van de vijfde orde door radicalen werd voor zover ik weet bewezen vóór Galois. Hij legde de basis voor de algemene zaak. Je zou kunnen beargumenteren hoe groepstheoretisch dit is.
Twee antwoorden:
Michael Weiss
2014-11-02 10:27:14 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Het artikel The Abstract Group Concept, uit het McTutor-archief, geeft een overzicht van de stappen naar de moderne abstracte definitie. Kortom, Cayley deed de eerste struikelpogingen (expliciet verwijzend naar de associatieve wet) in een artikel uit 1854, maar pas in 1895 gaf Weber de moderne definitie in zijn Lehrbuch der Algebra . Weber omvatte oneindige groepen.

Wat betreft de oorspronkelijke vraag: behalve de Lagrange-stelling die u noemt, ken ik geen gevallen waarin de abstracte definitie eerdere afzonderlijke resultaten verenigde. De abstracte definitie lijkt niet te zijn ingegeven door dit verlangen. Het is echter waar dat Lie-groepen rechtstreeks werden geïnspireerd door Galois 'permutatiegroepen, en Lie's wens om een ​​theorie voor differentiaalvergelijkingen te ontwikkelen die analoog is aan de Galois-theorie.

Het lijkt ook aannemelijk dat Weber, toen hij een uitgebreide tekst over Algebra schreef, de mogelijkheid zag om uiteenlopende begrippen te verenigen. Maar dat is slechts een vermoeden van mijn kant.

Alexandre Eremenko
2014-11-02 01:01:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

"Bijna alles" werd gevonden voordat de algemene moderne definitie van een groep werd uitgevaardigd :-) Ik weet niet zeker wie de eerste definitie van de abstracte groep heeft gegeven (als een set met een operatie die voldoet aan die en dergelijke axioma's). Maar waarschijnlijk gebeurde dit in de 20-er eeuw (aan verschillende mensen wordt dit toegeschreven). Voor 19-eeuwse wiskundigen was een groep een groep transformaties van een set in zichzelf. En de eerste diepe resultaten behoren toe aan Lagrange en Galois.

Cayley wordt over het algemeen gecrediteerd met de abstracte definitie van een groep. Ik zou in hetzelfde artikel uit 1854 raden waar hij de stelling van Cayley bewees.
@Michael Weiss: Kunt u een referentie geven op Cayley's papier? Heeft hij alleen rekening gehouden met eindige groepen of willekeurige? Als dit zo is, dan werden alle resultaten van vóór 1854 bewezen vóór de algemene definitie van een groep. Met name de Galois-theorie.
http://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false. Ik heb het artikel zelf niet gelezen, vandaar mijn bewoording van de opmerking.
@Michal Weiss: nou, ik heb de eerste pagina gelezen en het bevestigt wat ik zei: voor Cayley zijn de ELEMETNS van de groep "operaties", of "transformaties", eerder de elementen van een of andere abstracte set :-) Ik denk niet dat iemand het gebruikte " zet "systematisch voor Cantor.
Je hebt gelijk, maar als je de rest van het artikel leest, zul je merken dat hij naar het moderne concept tast. Inmiddels heb ik het McTutor-archiefartikel gevonden dat de ontwikkeling van het abstracte concept schetst.


ⓘ
Deze Q&A is automatisch vertaald vanuit de Engelse taal.De originele inhoud is beschikbaar op stackexchange, waarvoor we bedanken voor de cc by-sa 3.0-licentie waaronder het wordt gedistribueerd.
Loading...