Een folkloristisch resultaat dat ik heb zien gebruiken bij evaluaties van oneindige sommen is het volgende slimme gebruik van de residustelling:

$$ \ begin {align *} \ sum_ {1} ^ \ infty f (k) & = \ frac1 {2 \ pi i} \ oint f (z) \ pi \ cot \ pi z \, \ mathrm dz \\\ sum_ {1} ^ \ infty (-1) ^ kf (k) & = \ frac1 {2 \ pi i} \ oint f (z) \ pi \ csc \ pi z \, \ mathrm dz \ end {align *} $$

waarbij $ f (z) $ analytisch is en de contour de juiste subset van palen omgeeft.

Ik heb er enkele gezien referenties schrijven dit toe aan Mittag-Leffler, maar voor zover ik weet, toonde zijn enige bijdrage aan dat de functies die in de bovenstaande contourintegralen worden gebruikt, kunnen worden ontleed in hun polen.

Het feit dat deze resultaten geen naam hebben, maakt het moeilijk om naar meer informatie te zoeken; mijn beperkte zoektocht leert me dat deze resultaten vaak in handboeken of tekstboeken worden aangehaald als louter een gevolg van de residustelling.

Dus ik moet vragen: zit er een geschiedenis achter deze sommatieformules (wie bedacht het , eerste verschijning in de literatuur, etc.)? Referenties waar ik meer kan lezen over deze en andere contourintegraal sommatietechnieken (ik heb bijvoorbeeld de varianten gezien die tangens, secans of zelfs de gammafunctie zelf gebruiken) zijn welkom.