Grothendiecks bekendheid met de categorieën dateert van vóór Kansas. In 1948-1949 woonde hij Séminaire Cartan bij aan de École Normale Supérieure, waar hij " de vrijheid nam om met Cartan te spreken, alsof hij met zijn gelijke was " ( overlijdensbericht van Cerf). Dat zou Henri Cartan zijn, de agebraïsche topoloog, hij is de zoon van Eli Cartan die bekend staat om zijn bijdragen aan de Lie-groepstheorie en differentiaalmeetkunde (bijv. De differentiaalvormen). Het thema van het jaar was de simpliciale algebraïsche topologie en schoftheorie, ontwikkeld door Leray sinds 1945. Grothendieck volgde ook een cursus over lokaal convexe ruimtes, gegeven door Leray zelf aan het Collège de France, dus hij hoorde waarschijnlijk de modewoorden. In die tijd voelde Grothendieck zich echter uit zijn diepte tussen de mensen die met het nieuwe algebraïsche speelgoed speelden " alsof ze het kenden van de wieg " ( Récoltes et Semailles). In 1949-1953 ging hij studeren aan de Universiteit van Nancy onder andere bij Delsarte, Dieudonné en Schwartz. Zoals Dieudonné schreef in vroege werk van Grothendieck (1950–1960):

" Toen het in 1953 tijd was om hem een ​​doctorstitel te verlenen, was nodig om te kiezen uit zes papers die hij had geschreven, waarvan er één op het niveau van een goede dissertatie was. Natuurlijk werd zijn fundamentele paper over tensorproducten en nucleaire ruimtes gekozen en het werd al snel een mijlpaal in functionele analyse. "

Volgens Effros, dit artikel, Produits Tensoriels Topologiques etEspaces Nucléaires, gebruikte al categorische methoden:

" Hij was misschien wel de eerste die zich realiseerde dat de algebraïsche / categorische methoden die bloeiden na de Tweede Wereldoorlog konden worden gebruikt in deze zeer analytische tak van functionele analyse. "

Voor 1953-54 regelde Schwartz voor zijn briljante leerling (die weigerde Frans staatsburger te worden omdat het militaire dienst inhield) een baan in Brazilië, en daarna bracht Grothendieck een jaar (1955) door aan de Universiteit van Kansas, waarschijnlijk aan de uitnodiging van Aronszajn. Daar verschoof zijn interesse van functionele analyse naar homologische algebra. Volgens Malgrange vertelde Grothendieck hem over topologische vectorruimten: " Er is niets meer te doen, het onderwerp is dood. "

En het was daar, in Lawrence, Kansas, dat Grothendieck de "Tôhoku-paper" Sur Quelques Points D'algèbre Homologique (gepubliceerd in 1956) schreef, waarin het werk van Cartan en Eilenberg werd uitgebreid met modules, waarbij de categorieën voorkomen in hun geboorteplaatsomgeving. Hij begon ook te corresponderen met Serre, die hij kende uit Parijs en Nancy en die hem naar de algebraïsche meetkunde trok, waar Grothendieck schoven-theoretische en categorische methoden zal gebruiken om zijn voornaamste stempel te drukken. De Grothendieck-Serre-correspondentie wordt in het Engels vertaald. Zoals Serre veel later vertelde,

" Zijn kennis van de klassieke algebraïsche meetkunde was praktisch nul [...] Ik probeerde hem daarbij te helpen. Maar ... er waren er zoveel open vragen die het niet uitmaakte. "

Grothendieck bevestigt in Récoltes et Semailles dat het meeste van wat hij in meetkunde leerde hij van Serre leerde, of zichzelf leerde, en noemt Serre de " detonator " die de vonk gaf om zijn explosie van ideeën te ontsteken. In het bijzonder was het Serre die aan Grothendieck de beroemde Weil-vermoedens in de cohomologische taal beschreef, een categorische brug van homologische algebra naar algebraïsche meetkunde.

Ik vond de biografieschets van Jackson's As If Summoned from the Void die de oorsprong van Grothendiecks ideeën volgt, erg nuttig.