Deze regel is inderdaad te danken aan Leibniz, hoewel het Johann Bernoulli was die de bredere implicaties ervan realiseerde, en er is een interessant verhaal achter de ontdekking ervan. Het wordt verteld in Hoofdstuk 3 van Families of Curves and the Origins of Partial Differentiation door Engelsman. De regel komt voor in een brief van Leibniz aan Bernoulli uit 1697, als bijkomend resultaat in hun lange correspondentie over het probleem van orthogonale trajecten.

Zoals oorspronkelijk gesteld in 1694, was het " Gegeven oneindig veel curven per positie; vind de curve die ze allemaal in rechte hoeken doorsnijdt ", met de motivatie dat de lichtstralen zijn orthogonaal op de golffronten in Huygens 'golfoptica. Leibniz loste het probleem hetzelfde jaar als volgt op: als $ V (x, y, a) = 0 $ de familie geeft, dan kunnen de trajecten worden gevonden door $ V_x (x, y, a) dy-V_y (x, y, a) dx = 0 $ . Bernoulli had destijds alleen algebraïsche $ V $ in gedachten.

In juni 1696 legde Bernoulli voor de lezers van Acta Eruditorum zijn nu beroemde brahistochrone probleem voor. Hij was in staat om orthogonale trajecten naar hun familie te vinden, gegeven door $ y = \ int_ {0} ^ x \ sqrt {\ frac {x} {ax}} \, dx $ , gebruikmakend van zijn optisch-mechanische analogie, zie anticipeerde golfoptica op de kwantummechanica? Wat hij in een brief aan Leibniz opmerkte, was dat zijn algemene methode niet leek te werken voor deze familie, of , meer in het algemeen, voor families van transcendentale krommen gegeven door $ y = \ int_ {x_0} ^ xp (x, a) \, dx $ . En toen kwam de integrale regel van Leibniz.

" Johann Bernoulli's grote doorbraak voor transcendentale krommen kwam in augustus 1697, en was een onmiddellijk gevolg van Leibniz 'ontdekking eerder die maand van de uitwisselbaarheidstelling voor differentiatie en integratie. Toen hij de brief van Leibniz met deze stelling ontving, Bernoulli zag meteen in dat het een manier opende naar differentiatie met betrekking tot de parameter voor elk type uitdrukking. Er waren geen problemen met het interpreteren van $ V_a (x, y, a) $ span> wat betreft algebraïsche uitdrukkingen $ V (x, y, a) $ betrof, en nu het probleem van het interpreteren van $ \ frac {\ partiële} {\ partiële a} \ int_ {x_0} ^ xp (x, a) \, dx $ was ook opgelost. "

Ik kon de brief van Leibniz niet bemachtigen, maar Cambridge History of Science: Volume 4, Eighteenth-Century Science, p.316 zegt dat hij gebruikte dat het verschil van een som van oneindig kleine getallen gelijk aan de som van hun verschillen. Terwijl hij ook orthogonale trajecten bestudeerde, leverde Euler een ander bewijs in De Infinitis Curvis Eiusdem (c. 1734, gepubliceerd 1740), door antiderivatieven toe te passen op de gelijkheid van gemengde partiële waarden.